EWMA Covariance with a Shrinkage Target

xxxxxxxxx xxxxxx_xxxx_xxx(xxxxxxx, xxxxxxxx, xxxxxx). xx xxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx xx xxxxx xxxxxxx, xxxxxx xxxxxxx xxx xxxxxxxx.

xx xxxxx-xxxxxx xxxxxxxxxx xxxx x xxxx xxxxxx xxxx xxx xxx xxxxxx xxxxx xx xxxxxxx, xxx x xxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxxxxxxx xxxxx xxx xxxx xxxx xxx. xx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxx xx xxx xxxxxx xxxx. xx xx xxxx xxxxxxx, xxx xxx xxxxx xxxxxx xx xx xxxxxx xx xxxxxxx x xxxxxxx xxxxxx.

• xxxxxxx xxx x xxxx xxx x xxxxxxx: xxx x xxxxx xxx xxxxxx xx xxxx xxxxx xx xxxxxx x, xxxx xxx x xxx xxxxxx xxx xxx x - x xxx xxxxxx.
• xxxxxxxx xx x xxxxxxxx xxxxxxx. xxx xxxxx xx ( xxxxxx = x.x^{x / xxxx{xxxxxxxx}} ), xx x xxx'x xxxxxx xxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxxx xxxx xxx xxxx.
• xxxxxx xx xx ( [x, x] ).

xxxxxxx, xx xxxx xxxxx:

x. xxx xxxxxxx ( xxxxxx^{x - x - x} ) xxx xxx ( x ), xx xxx xxxxxx xxx xxx xxxxxx x. xxxxxxxxx xxxx xx xxx xx x: ( x_x = xxxxxx^{x-x-x} / xxx_x xxxxxx^{x-x-x} ). x. xxx xxxx xxxx xx xxxx xxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxx, ( x = xxx_x x_x, x_x ). x. xxx xxxx xxxxxxxxxx [ x = xxx_x x_x, (x_x - x)(x_x - x)^xxx. ] xxx xxxxxxx xxxxxxx xxx xx x. xxxxx xx xxxx xxxxxxxxxx. x. xxx xxxxxx xxxxxx ( (x - xxxx{xxxxxx}), x + xxxx{xxxxxx} xxxx xxxxxx{xxxx}(x) ), xxxxx ( xxxxxx{xxxx}(x) ) xxxxx xxx xxxxxxxx xxx xxxxxx xxxxxxxxxx xxxx. xxx xxxxxxxxx (xxxx xxxxx'x xxxxxxx xxxxxxxxxx) xxx xxxxxxxxx; xxxxx xxxxxxxxxx xx xxxxxx xx ( x - xxxx{xxxxxx} ).

xxxxxx xxx x x x xxxxxx xx x xxxx xx x xxxxx, xxxx xxxxx xxxxx(xxxxx, x) xx x xxxxx xxxxxx xxxxx.

xxxxxxxx

xxxxxx_xxxx_xxx([[x.x, x.x], [-x.x, x.x], [x.x, x.x], [x.x, -x.x]], x, x.x)
# [[x.xxxxxx, x.xxxxxx], [x.xxxxxx, x.xxxxx]]

xxxxxx_xxxx_xxx([[x.x, x.x, -x.x], [x.x, x.x, x.x], [-x.x, -x.x, x.x], [x.x, x.x, x.x], [x.x, -x.x, x.x]], x, x.x)
# [[x.xxxxxx, x.xxxxx, -x.xxxxxx], [x.xxxxx, x.xxxxxx, -x.xxxxxx], [-x.xxxxxx, -x.xxxxxx, x.xxxxx]]

xxxxxxx xxx xx xxxxxxx, xx xxx xxxxxxx xxx xx xxxxxxx xxxxxxx. xx xxx xxxxxx xxxx xxxxx xxx-xxxxxxxx xxxxx xx x.x xxxxx xxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxx xxx xxxxxxxx xx xxxxxxxxx.

xxxxxxxxxxx

• x <= x <= xxxxx, x <= x <= xx, xxxxxxxx >= x, x <= xxxxxx <= x.
• x = x: xxx xxxxxx xxx xx xxx xxx xxxx xxx xxx xxxxxx xx xxx xxxxx.
• xxxxxx xxxx xxx xxxx xxxx, xxx xxx xxxxx xxxx, xxx xxxxx xx x / (x - xxx(x^x)) xxxxxxxxxx. x xxxxxx xxxx xxxxx xxxx.
• xxx xxxxxx xxx xx xxx xxxxxxxx. x xxxxxx xxxx xxx xx xxx xxxx-xxxxxxxxxxx xxxx xxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxxxxxxxx; xxxxxxx xxxxxxxx xxx xxxxx xxx xxxxxx xx xx xxxxxxxx xxxxxxxx.
• xxxxx xxxx xxxxx(xxxxx, x); xxx xxxxx xxxxxxx xxxx ==.
• xxx xxxxxxxxxxx xxxx xxx x = xxxxx xxx x = xx. xxxx ( x ) xx xxx xxxxxxxx xxxxxx xxxxxxx xx xxx xxxxxxxx xxxxxx, (x * x[:, xxxx]).x @ x, xx xxx xxxxxxxxxx xxxxxx. x xxxxxx xxxx xxxx xxx ( x(x+x)/x ) xxxxx xxxxxxx xxxx ( x ) xx xx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxx xxxxxx xxxx xxx xxxxxxx. xxxxx xxxxx xxx ( x xxxxx x ) xxxxxx xxxxxx.