Minimum-Variance Weights, Long Only

xxxxxxxxx xxx_xxxxxxxx_xxxxxxx(xxx, xxxxx): xxxx xxx xxxxxxx-xxxxxxxx xxxxxxxxx, xxx xxx xxxx xxx xxxxxx xxxxxxxxxx, xx xxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxx xxxxxxxx ( x^xxx x x ) xxxxxxx xx ( xxx_x x_x = x ) xxx ( x_x xx x ), xxxxx xxx xx xxx x x x xxxxxxxxxx xxxxxx ( x ) (xxxxxxxxx, xxxxxxxx xxxx-xxxxxxxx, xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxx).

xxxx xxxxxxxxx xxxxx xx xxxxxxxx xxxxxxx, xx x xxxx xxxx xxxxxx xx xxxxx. xxxxxxx x xxxxx-xxxx xxxxxxxxxx xx xxx x xxxxxx xxxx. xxxx xxxxx xxxxxxxx xxxx xxxx xx xxxx xxx, xx xxx xxxx xx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxx xxxx xxx xxxx xx xxxxx.

xxx xxxxxxx xxxx xxxxxxxxx, xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx (xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx):

x. xxxxx xxxx xxxxxxx xxxxxxx ( x_x = x / x ). x. xxx xxx xxxx ( xxx = x / xxx_x x_{xx} ) xxxx, xxxxxx xxx xxxx. x. xxxxxx xxxxxxx xxxxx xxxxx: [ x = x x, xxxxx x_x xxxxxxxxx x_x, x^{-xxx x_x}, xxxxx x xxxxxxxxx x xxx/ xxx_x x_x . ]

xxxxxx xxx xxxxxxx xxxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xx x xxxx xx x xxxxxx, xxxx xxxxx(x_x, x).

xxx xxxxx xxx xxxx xxxxxx xxx xxx xxxxxx xxxxxx xx xxxxxxxxxx, xxx "xxxxx xxxxxxxxx", xx xxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxx xxxx xxxxxx. xxxxx = x xxxxxxx xxx xxxxxxx xxxxx. x xxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxx xxxxx xxxx x xxxxxx xxxxxxxx, xxx xxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxx xxx xx x, xx xxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxx xxxxxxx x xxxxxxxxxx. x xxxxxx xxxx xxxxxxx xx xxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xx xxx xxxxxx xx x.x.

xxxxxxxx

xxx_xxxxxxxx_xxxxxxx([[x.x, x.x], [x.x, x.x]], xxxx)
# [x.x, x.x]

xxx_xxxxxxxx_xxxxxxx([[x.xx, x.xxx, x.x], [x.xxx, x.xx, x.xxx], [x.x, x.xxx, x.xx]], xxx)
# [x.xxxxxx, x.xxxxxx, x.xxxxxx]

xxx xxxxxxxxxxxx xxxxxx xxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxx xx ( x / xxxxx_x^x ): xxxxxxxxx x xxx x xxxx x.x xxx x.x, xxx xxxx xxxxxxxxxx xxxxx xxxx xx xxx xxxxxxxx. xxx xxxxxx xxxx xxx xxx xxxxxxxxx xxxxx xxx xxxxxxxxxx, xxx xxxx xx xxx xxxxxx xxx xxxxx xxxxxx.

xxxxxxxxxxx

• x <= x <= xxx, x <= xxxxx <= xxxx.
• xxxxxx xxx xxxxxx xxxxxxxxx: xxx xxxxxxxx xxxx xx ( x x ), xxx ( x x x ); ( xxx ) xx xxxxx xxxx xxx xxxxxxxx xxxxxx xxx xxxx; xxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxx. xxxxxxxxx xx x xxxxxxxxx xxxxxxx xx xxxxxxx xxxxx xxxxx xxxxx x xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxxxxxxx.
• xxxxx xxxx xxxxx(x_x, x) xxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxxxx; xxx xxxxx xxxxxxx xxxx ==.
• xxx xxxxxxxxxxx xxxx xxx x = xxx xxx xxxxx = xxxx: xxxx xxxxxx-xxxxxx xxxxxxxx. xx xxxxx xxxx xx xxxx xxxxx x xxxxxx. xxx xxxx xxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxx xx xxx xxxxxx xxxx xxx xxxxxxx.
• x xxxx-xxxxxxxxxx xxxxx xxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxx xxxx x xxxxx-xxxxxxxxxx xxx xxxx xx xxxxxx xx xxx. xxx xxxxxx xxxx xxxxxx xxxx xx xxxxxx x.x.