Stationary Distribution of a Markov Chain

xxxxxxxxx xxxxxxxxxx_xxxxxxxxxxxx(xxxxxxxxxxx), xxxxx xxxxxxx xxx xxxx-xxx xxxxx xx xxxx xxxx x xxxxxx xxxxx xxxxxx xx xxxx xxxxx, xxxxx xxxxxxxxxxx xx xx ( x xxxxx x ) xxx-xxxxxxxxxx xxxxxx xx xxxxx xxxxxx: xxxxxxxxxxx[x][x] xx xxx xxxxxxxxxxx xx xxxxxx xxxx xxxxx x xx xxxxx x, xxxxxx xx xxxxx, xxx xxxxx xxx xxxx xx xxxxxxx xxxxx. xxx xxxxx xx xxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxx xx xxxxx xxxx, xx xxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx ( xx ) xxxxxx, xx xxxxxx xxx xxxxxxxxx

[ xx x = xx, xxxxx xxx_x xx_x = x. ]

x xxxxxx xxxxx xx x xxxxxx xx xxxx x xxxxx: xxxx, xxxxxx xxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx, xxxx x xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxx xxxxx xx xxxx xxxx. xxxxxxx x xxxxxx xxxxxx xxxxx xxx xxxxxx xx xxxxxx xxxxx xxxx xxxx xxxxxx.

xxxxxx ( xx ) xx xxxxx xxxxxx xx x xxxx xx x xxxxxxxx xxxx xxx xx xxxxxxx xxxxx. xxxxxxx ( xx ) xx x xxxxx xxxxxx xxxxx, xx xxxxxxx xxx xxxxxx xxxxxx xx xx xxxxx xxxxxxxxx xxx xx xxxxxxxxxxx, xxxx xxxxxxx xx xxxx xxx xxxxxxx xxxxxxxxx xxxx:

• xxxxx xx xxxxx xxx xxxx xxx xxxxx xx xxxxx xxxxx;
• xxx xxxxxx xxx xx xx xxxx xxxxx: xxxx xxx xxxxxxx xxxxx, xxx xxxx, xx xxx xxxxxxx xxxx xxx xxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxx, xxxxxx xxxxx xxxxx xx x xxx.

xxx xxxxxx xxxxxxxx xx ( xx^{-x} ) xx xxxx xxxxx xxxxx xxx xxxx xxxxxxxx. xx xxxx xxx x xxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxx xxxxxxxx xx xxx xxx.

xxxxxxxx

xxxxxxxxxx_xxxxxxxxxxxx([[xxxx, xxxx], [xxxx, xxxx]])
# [xxxx, xxxx]

xxxxxxxxxx_xxxxxxxxxxxx([[xxxx, xxx, xxx], [xxxx, xxxx, xxx], [xxx, xxxx, xxxx]])
# [xxxx, xxxx, xxx]

xxx xxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxxxx xx xxx xxxx xx xxxxx x. xxx xxxxx xxxxxx xx ( (xxxx.xx, xxxx.xx) ), xxx xxxxxx xxx xx xxxx, xxx xxx xxxxxxx xxxx xxxx xx xxx xxxxx xxxx xxx xxxxxx xxxxxxxxxx xxxx. xxx xxxxxx xx x xxxxx-xxxxx xxxxxx xxxxx xxxx x xxxx, xxxxxx xxxxxxxx xxxxx.

xxxxxxxxxxx

• x <= x <= xxx, xxxxx xxx xxxx xx xxxxxxx xxxxx, xxx xxx xxxxx xx xxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxx.
• xxxxxxxx xxxx xxxxx xx xxx xxxxxxx xxxxxxx xxxx xxx xxx xx xxxxx xx xxxxxxx. xxx xxxxxx xxxx xx xxxxx xx xxxx xx xxxx xx xxxx.
• xxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xx xxx xxxx xx xxx xxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxx. x xxxxxx xxxxxxxx xxxxx, xxxxx xxxxxx xxx xxx xxxx xxxxx xx xxx xxxx xxxxx xx xxxxx xxxx, xxxxx xxxxxxxx xx xxxxx xxxx x xxxxxxx xxxxx, xxx x xxxx xxxx xxxxx xxxxx x xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx.
• xxx xxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xx x xxxxx xxx-xxxxx xxxxxx xxxxxxxx xxxxx. xxxxxxx xxx xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxx, xxx x xxxxx xxxxx xxxxxxxxx xxx xx xxxxxxxxxxx xx xxxxxx xx xxxx. xxx xxxx xxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xx xxxxxx xx x xxxxx xxxxxx, xxx x xxxxx xxxxxxx-xxxx xxxx xxxxx xxxxxxxx.