Mixture of Gaussians: Density and Moments

xxxxxxxxx xxxxxxx_xxxxxxx(xxxxxxx, xxxxx, xxxx, x) xxx x xxxxxxx xx ( x ) xxxxxx xxxxxxxxxx, xxxxx xxxxxxxxx ( x ) xxx xxxxxx ( x_x ), xxxx ( xx_x ) xxx xxxxxxxx xxxxxxxxx ( xxxxx_x > x ). xxx xxxxxxx xxx xxx-xxxxxxxx xxx xxx xx x. x xx x xxxx xx xxxxxx, xxxxxxxx xxxxx. xxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxx xxxxxxx'x xxxxxxx xxx xxxxxxx xxxxxxx, xxxxxxx xxxxxxxxxx.

x xxxxxxx xx xxxxxxx xxxxxxxx xxx xxxxx xx xxxxxxx. xxx x xxxx xxx xxx x xxxxxxxx xxx, xxxx xxxxxx xx xxx xxx, xxx xxx xxxxxx xxx x xxxxxxx xxxx xxx xxxxxxx xxxxx xxxx xxx xxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxx. xx xx xxxx xxxx x xxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxx x xxxxxx xxxxxx.

xxxxxx xxx x-xxxxx (xxxx, xxxxxxxx, xxxxxx_xxxxxxxx, xxxxxxxxx). xxx xxxx xx ( x = xxx_x x_x xx_x ). xxxxx ( x_x = xx_x - x ). xxx xxxxxxxx xx xxx xxx xx xxxxx xxxxxxxx, xxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxxxx xxxx:

[ x = xxx_x x_x xxxx( xxxxx_x^x + x_x^x xxxxx). ]

xxx xxxxxx xxxxxxxx xx ( x_x / x^x - x ), xxxx xxx xxxxxx xxxxxxx xxxxxx

[ x_x = xxx_x x_x xxxx( xxxxxx_x^x + xxxxxx_x^x x_x^x + x_x^x xxxxx). ]

xxxxxxxxx xx xxx xxxxxxx xxxxxxx xx xxxx xxxxx xx x, xx xxxxx:

[ x(x) = xxx_x xxxx{x_x}{xxxxx_x xxxx{xxx}} xxx!xxxx( -xxxx{(x - xx_x)^x}{xxxxxx_x^x} xxxxx). ]

xxxxx xxxxx xxxxx xx x xxxxxxxx xxxx xxxxx(x, x) xxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxxxx, xxx xxxxx xxxxxxx.

xxxxxxxx

xxxxxxx_xxxxxxx([x.x, x.x], [x.x, x.x], [x.x, x.x], [x.x, x.x, x.x])
# (x.x, x.x, x.xx, [x.xxxxxx, x.xxxxxx, x.xxxxx])

xxxxxxx_xxxxxxx([x.x, x.x], [-x.x, x.x], [x.x, x.x], [-x.x, x.x, x.x])
# (-x.x, x.xxx, -x.xxxxxx, [x.xxxxx, x.xxxxxx, x.xxxxxx])

xxx xxxxx xx x xxxxx xxxxxxx: xxxx xxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx, xx xxx xxxxxxxx xx xxx xxxxxxx xx x xxx x, xxx xxx xxxxxx xxxxxxxx xx xxxxxxxx. xxx xxxxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxxx, xxx xxx xxxxxxx xxxx xx xxxx xx xxx xxxxxxxx.

xxxxxxxxxxx

• x <= x <= xx, x <= xxx(x) <= xxx,xxx, xxx xxxxx xxxx[x] > x, xx ( x > x ).
• x xxxxxx xxx xx xxxxxxx x. xxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxx.
• xxxxxxxxx xxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxx xx xxxxx xxxxxxxx xxx xxxxx xxxxxx. xxx xxxxxx xxxxxxx xxx x xxxxxx xxxx xx x.xxx xxx x xxxxxxx xxxx xx x.xx.
• xxx xxxxxxx xx x xxxxxxx xx xxx xxxxxxxx xxx xx xxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx, xxx x xxxxxx xxxxxxx xxxx xxx xxxxxxx'x xxxx xxx xxxxxxxx.
• xxx xxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxx xx xxxxxxxxxx xx xxx,xxx xxxxxx. xxxxxxxxx xxxx x xxxx xxxxx xxx xxxx xxxx xxx xxxxxxxxxx. x xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxxx xxxxx xxx xxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxx xxx xx x xxxx, xxx x xxxxxx (xxxxxx, xx) xxxxxxxxx xxxxxxxxx xx xx xxx xxxxxxxxxxxx xxxxx, x xxxxxxx xx x xxxxxxxx xx xxxxxx xxx x xxx-xxxx xxxxxxx.