Rolling Mean and Variance in O(1)

x xxxxxx xx x xxxx xxxxxx xxxxx xxx xxxx xxx xxxxxxxx xx xxx xxxx xxxxxx xxxxxx xxxxx xxxxx xxxx. xxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xx ( x(x) ) xxx xxxx, xxx xxxx x xxxxxx xx xxx,xxx xxxxxx xxxx xx xxx xxx xxxx. xxxx x xxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxxx, xxx xxxxxx xxxx xx xxxxxxxx xxxx.

xxxxxxxxx xxx xxxxx xxxxxxxxxxxx(xxxxxx):

• xxxx(x): xxx xxx xxxxxxx x xx xxx xxxxxx. xxxxxxx xxxx.
• xxxx(): xxx xxxx xx xxx xxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx, xx xx xxx xx xxxx xxxxx xxxxx xxxx xxxxxx xxxx xxxxxxx. xxxx xx xxxxxxx xxx xxxx xxxxxx.
• xxxxxxxx(): xxx xxxxxx xxxxxxxx xx xxx xxxx xxxxxx, xxxxxxxx xx ( x - x ). xxxx xxxxx xxxxx xxxx xxx xxxxxx xxx xx xxx xxxxxx.

xxxx xxxxxxxxxx xxx xxxxxx. xxx xxxxx xxxxx xxxx xx xxxx xxxxxxx xxxxxx, xx xxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxx.

xxx ( x ) xxxxxx xxxx xxx ( x ) xxx xxx xx xxxxxxx ( x ):

[ xxx{x} = xxxx{x}{x}, xxxxx x^x = xxxx{xx - x^x}{x(x - x)} ]

xxxxxxxx

x = xxxxxxxxxxxx(x)
xxx x xx [xx, xx, xx, xx]:
    x.xxxx(x)
x.xxxx(), x.xxxxxxxx()
# (xx.xxxxxxxxxxxxxxx, xx.xxxxxxxxxxxxxxx)

xxx xxxxxx xxxxx xx, xx xxx xx: xxx xxxxx xxxxx, xx, xxx xxxx.

x = xxxxxxxxxxxx(x)
x.xxxx(), x.xxxxxxxx()      # (xxxx, xxxx)
x.xxxx(x)
x.xxxx(), x.xxxxxxxx()      # (x.x, xxxx)
x.xxxx(x)
x.xxxx(), x.xxxxxxxx()      # (x.x, x.x)

xxxxxxxxxxx

• x <= xxxxxx <= xx^x, xxx xxxxxx xxx xxxxxxxx xxxx ( |x| xx xx^x ).
• xxxx, xxxx xxx xxxxxxxx xxxx xxxx xxx xx ( x(x) ).
• xxx xxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxx,xxx xxxxxx xxxx x xxxxxx xx xxx,xxx xxx xxxxx xxx xxxxxxxx xxxxx xxxxx xxxx. xxxxxxx xxx xxxxxx xx xxxx xxxx xx ( x(x) ) xxx xxxx xxx xxxxxx xx xxxx.